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干貨:2021考研數學線性代數各章復習要點及命題特點(六)

  摘要:二次型及其對稱矩陣在數學理論、數值計算及工業應用中都占有重要地位。這部分內容主要給出了二次型及其標準形的定義、性質及將二次型轉化為標準形的方法,討論了二次型的慣性定律和二次型正定的分類和判定,得出了二次型正定性和正定矩陣的判定方法。二次型在最近幾年內考查的頻率比較高,下面幫幫就這一部分內容進行歸納總結。

  二次型的考試內容:

  二次型及其矩陣表示,合同變換與合同矩陣,二次型的秩,慣性定理,二次型的標準形和規范形,用正交變換和配方法化二次型為標準形,二次型及其矩陣的正定性。

  二次型的考生要求:

  1.掌握二次型及其矩陣表示,了解二次型的秩的概念,了解合同變換與合同矩陣的概念,了解二次型的標準形、規范形的概念以及慣性定理。

  2.掌握用正交變換化二次型為標準形的方法,會用配方法化二次型為標準形。

  3.理解正定二次型、正定矩陣的概念,并掌握其判別法。

  二次型部分考查的能力有:

  

  3.了解合同變換與合同矩陣的概念,注意矩陣合同、相似、等價的區別。

  4.理二次型的標準形、規范形的概念,重點掌握用正交變換化二次型為標準形和會用配方法化二次型的標準形。注意標準形和規范形的區別,規范形是唯一的,標準形不是唯一的。

  5.理解正定二次型、正定矩陣的概念,并掌握其判別法。要求考生具有正確判定二次型正定性的能力。

  二次型??嫉念}型主要有:

  1.二次型標準型的考查。

  (1)用正交變換化二次型為標準形或用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣;

  (2)已知二次型的標準形或規范形,求二次型中的未知參數;

  2.判別(證明)二次型(實對稱矩陣)的正定性;

  (1)判別二次型或其矩陣的正定性;

  (1)確定參數值使二次型或其矩陣正定;

  3.合同矩陣與合同變換

  (1)判別(證明)兩實對稱矩陣合同;

  (2)討論兩矩陣相似與合同的關系;

  二次型是考試考查的重點,同學們在復習時應該給予足夠的重視。

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